從生活認識微積分（十一）導函數與微分

2019/07/09閱讀時間約 7 分鐘

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這篇文章中將延續上文脈絡，先回顧某一定值的導數和可微分的定義，讓讀者發現x=n時的導數與某個給定的定值n已經形成函數關係；接著透過同一個人的不同裝扮與不同稱呼，以及不同語文中，對於同一件事物有不同的讀音和拼，來說明數學變換符號的意義。第三段將導數的符號作變換，表示導函數的概念與定義，最後總結導函數即是微分，以及重新回顧微分的意義。

一、回顧：導數和可微的定義

　　在上篇文章中的結尾，我們透過物理實例引入了導數和可微分的定義，說明導數和可微分就是一般化的瞬時變化率概念。反過來說，我們現在已經成功想出導數的定義後，當導數中的函數f指的是位置，x=n指的是時間是n秒的時候，導數的定義就變成物理中第n秒的瞬時速度。

x=n時的導數和可微分的定義：
　　已知有一函數y=f(x)，（n、x屬於函數f之定義域），當x趨近於某一定值n時，應變數對自變數的變化率之極限，用數學符號表示如下：

　　若上述極限存在，就稱函數f在x=n處可微分，並可稱此極限值表示為「函數f微分後，在x=n時的值」，或稱為「函數f在(x=)n時的導數」(derivative of f at (x=)n)、「函數f在x=n時的瞬間變化率」（instantaneous rate of change of f at (x=)n）。

　　在上篇文章中有說明定義裡的兩個極限是相等的，僅是符號上的變化，我們稱之為在x=n處的導數此外，且有說明我們可以用不同數學符號來表示整個極限，但都是同樣的意思，為了排版方便，稍後我們皆使用f’(n)來代表極限值。現在換個角度想，每當決定一個數字n，只要定義中的極限存在，就能算出一個數字。

　　當極限存在時，只要給定一個n，就能決定一個數f’(n)，這已經形成函數關係，f’(n)是n的函數。我們曾用商品和標價牌做比喻，每樣商品下標有一個價錢，每看到一個商品，就能知道對應的一個價錢，所以價錢是商品的函數。

二、從生活實例來看數學中變化代號

　　代號並不會影響整個數學式的含義，代號只是表達數學概念的一種方式；正如人可能因為工作職位、家庭角色而有不同的稱呼；我們也可將數學中的代號想成裝扮，人也能依照不同場合更改外表的裝扮，可能有時正式有時休閒，而人的裝扮也會隨著季節改變，這些裝扮符合時宜、場合，但這些裝扮並不會讓這個人個性大改。

　　同一樣物品、觀念，在不同語言中有不同的發音和寫法，但是這些不同的發音和寫法，確實都是表示同一樣事物。數學中的符號也是如此，符號統一通常是為了溝通方便、易於別人理解......等，但重要的是了解數學符號背後的含義與定義。

　　在這裡本文將要引進一個新的觀念。因為數學家發現：根據x=n時的導數的定義，x=n時導數的值f’(n)是由n決定，這已經形成函數關係。若希望將這個新觀察到的函數與原始函數y=f(x)，畫在同一個x-y平面座標軸，我們就必須統一函數的應變數以及自變數代號。數學家為了方便觀察，將原始「某定值導數」定義中的極限代號，做了小改動：

　　在這個改動中，我們將n連帶f(n)分別改成x和f(x)，因為現在n視為自變數，極限值的結果f’(n)視為應變數，要將代號統一才能做之後的比較，原本式子中的逼近於定值n的x要統一改為另一代號，避免與目前自變數x混淆，我們可以改為t, m, n, c等任意一個代號，只要不要與x重複就好了，且此處的Δx代表的是t-x不再是x-n。此外，請注意等式前兩個符號也因極限符號改寫，而做出改變。

　　在這個式子中，我們仍需注意一點，自變數x在極限的運算中視為定值，t才是變數，這個逼近的關係來自於原始的x趨近於原始的定值n，並不會因為現在將n視為自變數後而改變此關係。這再次呼應到我們在開頭的說明，數學中的代號，並不會影響一個式子中要表達的數學含義、關係，正如一個人並不會換了衣服就性格大變一樣。此處變化代號的重要原因是，傳達出我們已經觀察到函數觀念，且稍後可以將這個新定義的函數和原始函數y=f(x)畫在同一個座標軸上做比較。

　　根據先前透過貓咪奔跑探討瞬時速度的概念，我們寫下數學極限的式子，而這個瞬時速度的式子去除物理意義後，變成函數上兩點斜率的極限，一點為定點（n, f(n)）、另一點為動點(x, f(x))。現在我們進一步認識到，這個數學極限值f’(n)可以視為應變數，每一個給定的值n則可是為自變數，所以將代號作變換，將定點變為(x, f(x))、另一動點改用代號(t, f(t))，這就是數學中導函數和微分的概念了。

三、導函數與微分

　　經過以上變換代號的解釋後，我們理解變換導數代號的意義，是代表我們認知一個新的函數關係，而為了表明之前定義的「（某一個值的）導數」和「定值」間有函數關係，我們稱此函數為「導函數」，並在把上述思考過程，利用數學式子再重新表達一次。

導函數和微分的定義：
有一函數y=f(x)，（x、t屬於函數f之定義域），當t趨近於某一定值x時，應變數對自變數的變化率之極限如下：

若上述極限存在，極限的結果就是函數y=f(x)的導函數。

「導函數」與「微分」：
數學家將「求函數f(x)之導函數」的過程稱為「求函數f(x)對x作微分」，有時我們又將此過程稱為「求函數f(x)的微分」、「對f(x)求導」或「求f(x)的導數」，不論哪種稱呼指的都是上述極限的定義。

注：注意之前文章中給出的定義是「x=n時的導數」，換句話說是「某一個值下的導數值」，但本文為求文句通順未每次強調某一個值下的導數值，有時可能省略「x=n時的」導數，現在給出的數學定義才是「導數」，為求區別本文稱之為「導函數」。「導數」、「導函數」是一種「函數」的觀念，並不是指某個數值。

　　y=f(x)之導函數（微分）可以用以下符號表示，每個符號的含義都相等：

四、小結：反思「微分」的定義

　　重新回顧這兩篇文章的思路，數學家先對瞬時變化率做一般化，用數學語言表達，寫成一個抽象的極限；而下文將這個極限重新認識，發現函數的概念，數學家稱之為導函數，故為求方便再次改寫極限中代號，將抽象極限改寫成常見的函數代號x,y作表達，最後再說明這個抽象極限的函數就是最基礎微分概念。

　　生活中總是充滿變化，當這些變化能用數字表達時，數學家就能用兩個變數來代表變化量，當這兩個變數有函數關係，即「一個變數」能決定另「一個變數」時，且能發現大致規則時，就可考慮選用「數學函數」來描述某種這兩個變數間的「變化關係」。數學家成功找到一個「數學函數」描述兩變數的關係後，這兩個變數的「變化率」，就可以用函數中「自變數」和「應變數」的關係式表達出來。表達出變化率後，經過思考加上「極限」趨近的含義，就能找出某一瞬間的瞬間變化率，稱之為在某一定值時的「導數」，而將某一定值時的「導數」視為一個函數，找出把「每一個瞬間」對應到「瞬間變化率」的函數，這個過程就是「微分」。

　　所以「微分」就是一個函數，將一樣事物的「每個瞬間」對應到正確的「變化率」。這個變化率、事物的主題，都可以依我們個人使用而定，也因此微分概念在現代社會中，已經應用到各個領域裡，不論是社會領域中的經濟，或是所有的自然科學、工程學當中都可見微分的影子。

　　我們已經對初等微積分中的微分概念作充分探討，日後將詳細敘述其他極限和微分的規則定理與介紹積分概念。

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