2024-09-08|閱讀時間 ‧ 約 7 分鐘

「6÷2(1+2)=?」：一則簡單的四則運算為什麼在十多年內病毒傳播？

〈「6÷2(1+2)=?」：一則簡單的四則運算為什麼在十多年內病毒傳播？〉2024-09-08

　　數學對很多人來說是一個頭痛的科目，尤其到了高中以後，「會數學的人」和「不會數學的人」之間幾乎劃出了一道難以跨越的鴻溝。但如果只是小學的程度的四則運算，多數人應該還是能夠掌握……的吧？

　　事情可能和我們的想像不太一樣，自2011年起，「6÷2(1+2)=?」這道看起來相當簡單的四則運算問題就在各個不同的社群網站上瘋傳了好幾次。由於當時的社群網站開始出現了提問題供網友投票的功能，我們驚訝地發現，對於這樣看起來非常簡單的問題，居然出現了兩派完全不一樣的答案。

　　根據我查到的資料，在那篇2011年的臉書提問中，截至當年的五月五號，世界範圍有三百六十多萬網友進行了作答，其中一百五十多萬人選擇1、兩百一十多萬人選擇9。雖然選擇9的人多出了六十萬，但仍有超過四成的人選擇了另一種答案。我們顯然不能去說「世界上有四成（或六成）的網路使用者連四則運算都不會」，這裡面一定出了什麼問題，或者說，一定有某些情況分別會讓這兩個答案各自成立。

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　　2016年，來自史丹佛大學的數學愛好者普雷許．塔爾瓦卡 (Presh Talwalkar)在他相當受歡迎（如今超過三百萬訂閱）的YouTuber頻道「MindYourDecisions」中便討論到了這則「病毒數學問題」。

　　普雷什認為，這是一個簡單的問題：根據「PEMDAS/BODMAS原則」（括號、指數、乘除、加減），我們先把括號中的1+2算出來，題目就會變成「6÷2(3)」，然後，把括號按照「隱性乘法」的解釋，我們會得到「6÷2×3」，乘除的位階相同，從左算到右，6÷2=3、3×3=9，我們便得到六成的人選擇的那個主流答案「9」。

　　但另一個答案「1」是怎麼回事呢？普雷什翻查了近代數學的一些歷史資料，他發現在1917和一些更早的文檔中，存在著一種把除法的位階視為更高的規則。在那種規則裡面，當算式中出現除法符號，意味著我們要把符號左右兩邊的算式先分開計算，計算完畢之後再相除。

　　普雷什認為這件事情和文書排版有關，為了不要讓分數的表示在書中變得過於佔據空間，排版者選擇用表示除法的”/”符號取代本來會放在上下的分子與分母，也不打算加上繁複的括號。但之後為了比免混亂，該規則不再被使用，既然乘除屬於相同位階，就一律由左計算到右。

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　　雖然普雷什自認解決了這個問題，但我並沒有覺得自己被說服。我不認為多數認為答案是「1」的人的理由是覺得「除法左右邊要先分開算完」，那個理由應該是在後面，也就是覺得2(2+1)這個「一個數黏在括號前面」應該要先做計算。或者換句話說，會算出這個答案的人，是認為這個題目應該要理解為「6÷[2×(1+2)]」。

　　事實上，2012年時，台灣的一名網友寫信給教育部問了這個問題，我認為教育部的答案比普雷什來得更好。教育部認為之所以會出現這兩個答案，是因為2(1+2)既可能被讀成「2×(1+2)的簡寫」，也可能被讀成「2是(1+2)的係數」。

　　根據當時教育部回函的觀點，在代數中，這種寫法並沒有表達不清的問題，2(a+b)和2×(a+b)是兩種不同的表達。如果這個題目是將上面的代數帶入數字，那2(1+2)前面的2就是後面(1+2)的係數；但如果這不是代數，是2×(1+2)的簡寫，那麼從小學的四則運算著手，6÷2×3就等於9。

　　教育部認為兩種想法都沒有錯誤，有問題的是題目本身。出題者應該要避免這種會造成爭議的表達方式。無獨有偶，加拿大維多利亞大學的數學教授崔佛．巴齊特（Dr. Trefor Bazett）也遙相呼應地給出了類似的觀點。

　　在巴齊特於2020年針對這個問題製作的影片裡，他同樣是從代數的角度分析了第二種答案出現的邏輯，但在解釋的過程中，他給出了很多不容易造成誤會的表達方式：譬如加上括號、把乘號寫出來、用分數的表示法把要除的對象整組寫在下面等等。清楚地表示出兩種答案出現的情況是什麼。

　　但比起「題目出錯」，巴齊特想要將討論推進得更遠一些。他認為，這個題目的重要性不在於「答案是多少」，而在於它成為了一個爆紅的現象，這個爆紅反映了人們對數學的一般性想法。巴齊特認為，這個現象表明了，人們往往把數學當成某種任意的、需要背誦的規則，而沒有去思考其背後的直覺、推理與探究過程。

　　從一個數學家－－使用數學來在這個社會上生存的人－－的角度來說，寫出算式的這個人有義務要把它用清楚的方式表達出來，而不是在明明有無數種消除歧異的方式，卻使用這種會引發爭議的方式表達。對巴齊特來說，數學中有無數真正美妙有趣的題目值得我們探索，我們不需要被困在這樣的「病毒問題」裡面。

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　　比起普雷什的說法，我認為教育部和巴齊特的解釋更符合選擇「1」的人的直覺。同時，作為教育者，他們也都提出了讓我們可以嘗試跳脫出問題的思考方式。而且從巴齊特的言談中，我們也能感受到那種深刻的對數學的熱情，還有「在社會生活中運用數學」而非僅僅將之當作「題目」的思考角度，也非常值得我們效法。

　　除此之外，我也意識到一件有趣的事情。我們之所以沒有立即說出「這個題目寫錯」，是因為我們知道乘法在某些情況可以省略。但我們卻忘記了「乘法符號可以省略」的這個原則是在我們學習代數時才學到的。之所以要這麼做，很大程度是為了避免我們混淆乘法符號和未知數「x」。如果不是在做代數計算的情況，寫出乘法符號才是那個能夠較清楚表達算式的寫法。

　　所以在同意乘法符號可以省略的同時，我們會更自然地將那個式子用代數式的邏輯去理解，也就很有可能出現那種把2當係數先乘起來的情況了。而在這個題目爆紅的十幾年裡面，也有一些人用「6/2(1+2)」來表達題目。雖然我沒有明確的統計數據，但可以想像，再看到這個題目時，有更多人的直覺會傾向先算6/2，因為它看起來也很像是「一組」（有沒有覺得，這個問題和先前談的「小米酒」應該拆成「小米的酒」還是「小的米酒」其實有異曲同工之妙）。

　　或許，比起去糾結於「這個問題的正確答案是什麼」，這些背後的直覺、理由如何與我們的學科歷史、教育程度、閱讀習慣、對符號的感知相關，包含著更多值得我們去挖掘的精彩內容。

「6÷2(1+2)=?」：一則簡單的四則運算為什麼在十多年內病毒傳播？