綁架愛麗絲 之 鏡像語言 015

1 Looking-Glass House : 對稱

鏡子屋

十

現在我們再進一步，將對稱的定義單獨用邏輯語言寫出來。

以下的表述用的是一階謂詞語言。⁹

S3 的左邊稱作「被定義項」，右邊稱作「定義項」。

被定義項是表達對稱關係的「R」，即我們要定義「R」﹔而定義項是陳述所要滿足的要求或條件的那部分。

S3 的定義項是「∀x∀y (xRy ≡ yRx)」。

倒轉的 A ——「∀」—— 是所有 (All) 的意思。

「∀x」可以讀作「對所有的 x 來說﹔因此 S3 給出的要求或條件是﹕對所有的 x 和所有的 y 來說，如果 x 和 y 有關係 R，那麼 y 和 x 亦有關係 R﹔反之亦然。

譬如鏡像就是這樣的一個二元關係，如果 x 是 y 的鏡像，y 也是 x 的鏡像。

純就邏輯來說，如果 x 和 y 互為對方的鏡像，我們基本上沒有一個阿基米德支點之類的東西來判斷哪一個是「正版」的。

讀者要留意，我們現在談的是邏輯上的一個二元關係，在判斷一個二元關係是否對稱時，千萬不要想當然。

譬如朋友關係就不是個對稱關係。A 君可以是 B 君的朋友，但 B 君在 A 君背後插刀卻屢見不鮮。人心險惡，信者得救。

同理，友國關係也不對稱。

由此可見，對稱是一個要求頗高的關係，人類社會的很多關係都未能符合。

舉了反例，不能不舉正例。

配偶 (指兩人結婚後的關係) 關係屬對稱關係。如果羅伯特是朱莉亞的配偶，朱莉亞當然也是羅伯特的配偶。如某地文化及法律容許，又如唐納德是迪克的配偶，迪克也會是唐納德的配偶。

基本上，對等的關係都有對稱的屬性，或者說，對稱要求一個對等關係。

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⁹ 一階謂詞邏輯 (first-order predicate logic) 是命題邏輯 (propositional logic) 的延展。命題邏輯的研究對象是陳述句與陳述句之間的關係。陳述句句內的結構完全不予理會，亦無關。譬如我們有一個句子 P，也有一個句子 Q，我們想知道 P 和 Q 有沒有關係或如有定話，是什麼關係。一階謂詞邏輯的研究對象是陳述句內的結構。譬如我們有一個句子 P，也有一個句子 Q，我們想知道 P 是怎麼樣的一個 P，Q 是怎麼樣定一個 Q。分析了 P 和 Q 定句子結構後才處兩個句子的關係。因此一階謂詞邏輯是個比較複雜的語言。有時候我們需要比較複雜的邏輯語言，因為一般來說，一套比較複雜的邏輯語言能夠揭露自然語言中更多及有時屬隱性的結構。但這當然不是說一套邏輯語言越複雜越好。原則上，一套邏輯語言越簡單越好，只在有需要時，我們才會創造比較複雜的人工語言。在沒有需要的情況下把事情弄複雜是個邏輯罪行﹗

待續