方格精選
中學以下的素養教育與經驗談：五年級鬼門篇（1）
閱讀時間約 10 分鐘
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
這篇開始，會花很多時間講解細節，理由很簡單，五年級的數學開始進入大量的抽象運算，以及配合圖形思考，多數同學到這一階段直接躺平。躺平的原因，經驗上來說，有三種人：
第一種就是運算太慢，開始分數、小數、綜合四則運算後，沒有練到即刻反應的往往就拖累整體。
第二種，公式與規則不熟，中低年級可以依靠個人天資或小聰明閃過，四則運算以及圖形進來後，沒有掌握規則的通常會失誤連連。
第三種，整合能力不足，也就是真的不行，只要複合性的問題出現，就必須拆成兩三個個別的題目，不然無法思考。
前兩者筆者可以透過學習技巧，幫助家長克服，第三種同學，需要的是耐心跟愛心，家長要付出更多心力，在家課後協助，也許真的就不適合走跟數學有關係的路，但至少升學方面不要太辛苦。
數線：連接數學與圖形的入門基礎
第一個大關卡，上了五年級立刻會面臨，是「數線」。依照各家版本略有先後，通常都是繪製數線會遇到，而後才是因倍數。
為何數線很重要？這是連接數學與圖形的入門，了解數字大小與其幾何意義的開頭。不要覺得這沒什麼，多的是長大還不懂的成人。舉一個歷久不衰的「種樹」問題好了，為何「10公尺的道路上，每隔1公尺種一棵樹，請問要種幾棵」，答案會是11而不是10，更不是9？
並不是只要多練習就會，這個問題的本質是不了解數字在數線上代表的是「點」，不是「線」更不是面。樹種在點上，而不是種在線上，正常老師都會畫圖，有認真聽的學生應該都會，所以建議家長跟著問幾題，確認他是真的懂還是安親班教他背規則，什麼「若開頭不種則不扣1，開頭要種加1」，除非是要段考來不及了，不然一開始就教學生這樣做的安親班，建議換數學老師。
家長若不懂的，請用以下例子解說給小朋友聽。
範例：若我們想在道路旁邊，每隔1公尺種下一棵行道樹，請問10公尺的距離應該要種幾棵？
答：(10÷1)＋1＝11棵。
解說：為何10÷1還要再＋1？
因為數學上的10÷1，代表的是「間隔」數，即表示「0到10之間，間隔（距離）為1，共有10個間隔」，家長可以自己數一下。但是數字本身代表的是那個「點」，種樹要種在「點」上。而為何10個間隔有11個點？因為「間隔指的就是兩點之間」。
看懂圖樣，才會知道為何種樹、立電線桿之類的題目，開頭那個0種不種會差1，小朋友才會曉得，為何除完還要加1。真正懂的小朋友，下面的題目照理說也不會有問題。
範例：在一個每邊長10公尺的方形公園，想要沿邊每隔5公尺種一棵樹，總共要種幾棵？
答：每邊邊長10，周長10×4＝40，40÷5＝8，要種8棵。
解說：為何這邊不需要+1了？
看圖就知道為何，因為在「圍起來的狀況下」，頭尾相連，所以點不會比間隔多1。真的懂，就不會去背公式，這種題目背公式很瞎，應該是懂了自然曉得該不該加1還是減1。（左圖看不懂的拿右邊兩張圖解說）
為何筆者特地拿這個例子解釋，這不就一個題目？因為國高中的經驗，真的很多小朋友，幾何題目或是自然科的應用題，都垮在不理解數字與數線等等的關係，點、線到面的變化，概念很少。
因數：先了解可除盡跟不可除盡的意義
接著的難關是「因數、倍數」，大體上會乘除法的學生，會很快的帶入一種概念「可以被乘除的就是它的因數倍數」，這在操作上是沒有問題啦，但會太過大意，以為不過就這樣。由於指數是國中才學的，不建議現在去教質因數分解，但為了建立良好的基礎，筆者建議在範例的時候，就讓小朋友理解，因數就是可以任意拆解可乘的那個數字。
範例：6的因數是什麼？
答案：6÷1＝6 可整除，1為6的因數。
6÷2＝3 可整除，2為6的因數。
6÷3＝2 可整除，3為6的因數。
6÷4＝1…2不可整除，4不是6的因數。
6÷5＝1…1不可整除，5不是6的因數。
6÷6＝1 可整除，6為6的因數。
請先養成一個依序的概念，先行了解可除盡跟不可除盡的意義，很快他就會抓到一個概念。讓小朋友理解加粗體的部分，也就是除盡的最小值是1，再來就是2，意即因數最大就是自己，再來就只有原數的一半；這可以省下不少小朋友，習慣把大於一半的數字也拿去除的過程。接下去建議用可乘的數字拆解，使其後面的倍數、公因數、公倍數，到國中的因數分解都有基礎。
範例：12的因數是什麼？
答案：12＝1×2×2×3
＝1×2×6
＝1×3×4
＝1×4×3
＝1×6×2
＝1×12
現在其中的數字有1、2、3、4、6、12，均為12的因數。
為何要這麼麻煩？請注意這是一開始，我們的目的是要讓學生了解，組合有很多，不是只有一種，這樣他上國中才會知道，質因數分解後，可以把質因數組合成另一個因數，其根本是在哪裡。
國小因為題目不會出到數字很大，多半都可以用湊的，或是「硬除」來解題，導致許多家長以為小朋友「懂了」，其實他只是把每一個數字都硬除一次，依照因數的規則去解題。這不能說錯，但筆者的經驗是，若沒有掌握到「越大的數字，因數越是一種小因數互乘組成大因數」的法則，後面國中越慘，算的越慢。
課程上的確不能教質因數，但沒有說不能先把概念教一教。
公因數是一樣的概念，兩個數都有的因數就是兩者的公因數。對初學者強烈建議，把因數一個個列好再抓出來對，確定真的會了，才可以練速度，不然只會養成不良習慣，漏東漏西。
範例：6與8的公因數為多少？
答：6的因數有1、2、3、6；
8的因數有1、2、4、8；
故公因數為1、2。
範例：16與36的公因數為多少？
答：16的公因數有1、2、4、8、16；
36的公因數有1、2、3、4、6、9、12、18；
故公因數有1、2、4。
常錯、仍不熟練之前，請確保你家小朋友，每一題都這樣，一個個列出，再找出公因數，切莫急躁。
倍數：乘法表可為延續教材，記住常用原則
倍數不難懂，但要遵循一個順序，最好弄到一個口訣的樣子，例如「A×B＝C」，A是C的因數、B也是C的因數，C是A跟B的倍數。意即，透過簡單的方式，很快抓到誰除誰可以除盡，誰乘誰可以得到誰，故誰是誰的因倍數。最好的方式，是拿九九乘法表來延續。
範例：7×1＝7、7×2＝14、7×3＝21，
請往下再列出7的倍數共3個。
答：7×4＝28、7×5＝35、7×6＝42，
為28、35、42三個。
範例：3×9＝27、3×10＝30、3×11＝33，
請往下再列出3的倍數共3個。
答：3×12＝36、3×13＝39、3×14＝42，
為36、39、42三個。
好處是立即讓學生曉得，乘法表本身就是簡單的倍數表，而且便於延伸。這個階段建議把常用的倍數原則記起來，主要有2、3、5、10。11以上的不建議去記，對小學生來說這時候只要知道概念即可。
2的倍數，只要看尾數是否為偶數即可；3的倍數要看每一個數字相加，是否為3的倍數（如24看2＋4＝6為3的倍數）；5的倍數看尾數是0或5；10的倍數看尾數是0。
可以的話，原則先背再說，然後拿題目讓他實際除除看，知道操作性沒問題，原理後面再講，因為簡易檢視法，其實來自於分配律。你家小朋友程度夠，再把下面的概念拿來教，請不要做太過頭，更不要堅持使用數學歸納法之類的整小學生，舉例以分配律說明就好。
範例：為何尾數是偶數的皆為2的倍數？
答案：隨機取兩數1234、4321，皆除2可得下列算式
1234÷2＝[(1000×1)＋(100×2)＋(10×3)＋(1×4)]÷2
＝(1000×1)÷2＋(100×2)÷2＋(10×3)÷2＋(1×4)÷2
＝(1000÷2×1)可整除＋(100÷2×2)可整除＋(10÷2×3)可整除＋(1÷2×4)可整除
4321÷2＝[(1000×4)＋(100×3)＋(10×2)＋(1×1)]÷2
＝(1000×4)÷2＋(100×3)÷2＋(10×2)÷2＋(1×1)÷2
＝(1000÷2×4)可整除＋(100÷2×3)可整除＋(10÷2×2)可整除＋(1÷2×1)不可整除
範例：為何數字和為3的倍數者，就是3的倍數？
答案：隨機取兩數125、246，皆除2可得下列算式
125÷3＝[(100×1)＋(10×2)＋(1×5)]÷3
＝[(99＋1)×1＋(9＋1)×2＋5×1]÷3
＝(99＋9×2)÷3可整除＋(1＋2＋5)÷3不可整除
246÷3＝[(100×2)＋(10×4)＋(1×6)]÷3
＝[(99＋1)×2＋(9＋1)×4＋1×6]÷3
＝(99×2＋9×4)÷3可整除＋(2+4+6)÷3可整除
範例：為何尾數0或5，就是5的倍數？
答案：隨機取三數150、215、123，皆除5可得下列算式
150÷5＝[(100×1)＋(10×5)]÷5
＝(100×1)÷5可整除＋(10×5)÷5可整除
215÷5＝[(100×2)＋(10×1)＋(1×5)]÷5
＝(100×2)÷5可整除＋(10×1)÷5可整除＋(1×5)÷5可整除
123÷5＝[(100×1)＋(10×2)＋(1×3)]÷5
＝(100×1)÷5可整除＋(10×2)÷5可整除＋(1×3)÷5不可整除
範例：為何尾數0，就是10的倍數？
答案：隨機取兩數123、120，皆除10可得下列算式
123÷10＝[(100×1)＋(10×2)＋(1×3)]÷10
＝(100×1)÷10可整除＋(10×2)÷10可整除＋(1×3)÷10不可整除
120÷10＝[(100×1)＋(10×2)]÷10
＝(100×1)÷10可整除＋(10×2)÷10可整除
公倍數的概念通公因數，請小朋友列出幾個倍數，有相同的就是公倍數。這邊的問題，通常是對最大公因數與最小公倍數的概念不大理解，大致上就是不明白為何沒有最小公因數跟最大公倍數。
這同樣舉例子就好，因為每一個數都有最小因數1，那大家的公因數自然都有1，最小公因數當然就是1，何必問？任何數的倍數是無限多，既然你根本找不到最大的倍數，那就找不到共同的倍數會有最大。在紙面上列出，列出一串數字，小朋友自然會懂，不是不需要就是做不到。
切記，不要用太抽象的概念，或是拿你大學、研究所的專業，去解釋給小朋友聽，他聽得懂就神了。
下部分，要解釋圖形跟物體的面積、體積，一大堆小朋友到這邊當機。
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