上古漢語的邏輯結構 042

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動
• 1.2.6 熱的傳導
• 1.2.7 十九世紀的尾聲

一

函數概念的發展不可能終結，踏入公元廿一世紀，數學工作者還在研究函數的各個方面。但從上述的這段歷史看來，一直到公元十八世紀中葉，兩個結論應該不會引來異議。

一，函數顯然是研究變化的卓越工具﹔

二，數學家的興趣似乎多專注於不同類型的函數及各類函數的不同行為。

數學家與哲學家的最大分別大概是前者較少關心基礎議題。但我們需要稍為了解一下數學家的觀點及結果，並以此為基礎，再轉向哲學和邏輯的視角。在進入哲學和邏輯的領域之前，我們簡短地談論一下幾位數學家在有關方面的一些貢獻。

法國數學家柯西興趣廣泛，甚至寫了一本關於希伯來韻文的作品，但他的名聲來自他發展出來的複函數理論³⁸。柯西主要受歐拉和另一法國天文學家及數學家皮埃爾-西蒙‧拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 的影嚮。歐拉 (始自1759年) 和拉普拉斯 (始自178年) 做了很多計算定積分 (definite integrals) 的工作，但兩人的計算程序不夠縝密。柯西的目的就是要嚴謹化兩人的計算程序，而這些程序就是從實數通往虛數的程序。1923年，柯西寫了一篇論文，題為〈無窮小微積分應用概論〉(Résumé leçons sur les applications de calcul infinitésimal)，複函數在他手上成熟起來﹔文中，柯西如下定義函數﹕

(F_C) 當變量以此方式 —— 當給出其中一個的值時，我們可以推斷出所有其它的值 —— 聯繫在一起時，我們通常構想這些量是通過它們其中之一的量表示﹔後者稱為自變元，餘量則通過自變元表示，亦稱為這個變元的函數。[Bottazzini 1986: 104]

這個定義可取的地方有兩點。

一，(F_C) 給出的是一個一般性定義，遠離幾何和代數的束縛﹔

二，柯西引進了「variable indépendante」(自變元) 一語，沿用至今，確立了一個術語上的用法。

__________

³⁸ Complex function theory﹔今日稱這門學科為「complex analysis」，中文翻譯為「複分析」，研究的是含複數變元的分析函數 (analytic functions)。

待續