黑鴉鴉一片:「烏鴉悖論」的科學哲學啟發

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〈黑鴉鴉一片:「烏鴉悖論」的科學哲學啟發〉2023-05-17


  在科學哲學的發展中,邏輯經驗論在一段時間內獨領風騷。即便有孔恩學派或其他反對意見出現,科學社群仍一定程度地保持著邏輯經驗論的基本觀點。邏輯經驗論者認為科學應該是客觀的,因此需要從一些客觀的基礎來出發。


  譬如,邏輯經驗論者會相信,科學定律和理論的發展應該要與觀察息息相關,我們可以透過對事物的客觀觀察得到一些重要證據,再用邏輯的方式連結到相關的普遍化命題。


  這些邏輯經驗論者的圖像是:好的科學命題能夠演繹出我們得到的觀察語句,反過來說,我們也以歸納法來讓我們的觀察語句增加這些命題的可信度。我們暫且放下對於「觀察是客觀的」這一宣稱的疑義,去考察一下邏輯化的科學命題如何與觀察語句發生關係。對於邏輯經驗論者的美好圖像,Hempel提出的著名問題很可能給我們帶來一種不同的思路。



  對邏輯經驗論者而言,知識是命題性的知識,一個具認知意義的命題性知識能夠透過符號化的方式寫成邏輯語言。假設今天有一個宣稱是「所有的烏鴉都是黑的」,如果這個宣稱要有認知意義,它必須能寫成符號邏輯的語言。我們以「Rx」代表「x是烏鴉」、「Bx」代表「x是黑的」,則我們可以將這句話寫成:


  (1) ∀x(Rx → Bx)(對所有的x而言,若x是烏鴉則x是黑的。)


  為了檢驗這一命題,邏輯經驗論者的方式便是觀察大量的烏鴉,每多看到一隻黑色烏鴉,我們就增加了一個可以支持這個命題的觀察語句「烏鴉是黑的」之個例。相反地,觀察到非黑的烏鴉則代表找到一個反對此命題的個例。但同時,從邏輯的觀點來說,透過「異質換位規則」(Contraposition)與「涵蘊句規則」(Implication),我們會得到 (2)∀x(~Bx →~Rx)(對所有的x而言,若x不是黑的則x不是烏鴉。)與(3) ∀x(~Rx ∨ Bx)(對所有的x而言,x不是烏鴉或者x是黑的。)這兩個與(1)邏輯等價的命題。



  當我們觀察任意的非烏鴉時,我們會觀察到「非黑的非烏鴉」和「黑的非烏鴉」,前者是命題(2)的正面檢證例、後者則是命題(3)的正面檢證例。由於這三具命題是可以互相轉換的等值句,因此,對於「非黑的非烏鴉」和「黑的非烏鴉」的觀察結果都能用以提升我們對於「所有烏鴉都是黑的」這一命題的信賴程度。


  這意味著,根據邏輯經驗論的主張,只要你觀察一堆非烏鴉的事物,無論那些事物是不是黑的,我們都能更有到裡的說「所有的烏鴉都是黑的」,這樣的結果與多數人的直覺有所衝突,因此這個範例也被稱為「烏鴉悖論」。



何謂悖論:真悖論與假悖論

  一般而言,悖論被區分為「真悖論」與「假悖論」。例如經典的說謊者悖論:「這句話是假話。」與理髮師悖論:「若一位理髮師宣稱自己為所有不自己刮鬍子的人刮鬍子,且只為不自己刮鬍子的人刮鬍子,那他要不要為自己刮鬍子?」這種會讓真假值「反覆橫跳」的問題被稱為「真悖論」或「邏輯悖論」。而另一類悖論則不在邏輯的層面發生問題,而是結論與我們的直覺不吻合,在這類的情況中,有可能是結論有問題,或我們的直覺有問題。


  芝諾是著名的古希臘悖論俠,「飛矢不動」和「阿基里斯與烏龜賽跑」都是著名的例子。「飛矢不動」的悖論宣稱一支射出去的箭在每一個瞬間都有固定的位置,所以它應該是靜止而非運動中的。「阿基里斯與烏龜賽跑」的悖論則是說雖然阿基里斯跑步的速度比烏龜快得多,但由於烏龜比阿基里斯早出發,阿基里斯每次抵達烏龜現在的位置時,烏龜都已經往前一段路,所以阿基里斯永遠追不上烏龜。


  對於不熟悉數學、物理學或哲學的人而言,我們知道「這裡怪怪的」,但卻沒辦法說清楚發生什麼事。乍聽之下,它的確從一些事實透過邏輯推論來給出了一些與認知或直覺不符合的結果:


  既然飛矢射出去能繼續向前飛,它應該要是運動的,但每一瞬間具有固定位置的這一事實卻導出了「它是靜止的」。阿基里斯是著名的善跑者,顯然他一下子就能追過並超越烏龜,但「當阿基里斯到達烏龜現在的位置時烏龜已經跑到下一個位置了」的這個事實卻讓芝諾可以給出「所以阿基里斯怎麼樣也追不上烏龜」的古怪結論。



  另一類例子同樣被歸類為假悖論,經典的例子是「生日悖論」,如果你沒有聽過這個悖論,可以憑直覺猜測一下:「要讓一群人裡面,出現有兩個人或以上同月同日生的機率大於完全沒有人同月同日生的機率」需要多少人?


  答案是只需要23個人。這樣的宣稱對於一個沒有數學背景的人而言相當詭異,從一個素樸的觀點來看,一年有365天,要有兩人生日相同的機會就只有1/365,要超過50%的話,就算不需要183人,至少也應該比23人大得多。



  但對於熟悉機率的人而言,這個問題一點也不困難,不符合這個計算結果的直覺其實是隱含地把這個「兩人生日相同」的條件想成「有人和我生日相同」,若是這樣想的話,23人顯然不夠。


  然而真正的答案則是「任意一個人與另一任意人生日相同」,當有23人時,已經出現了253種配對,因此在你的國小、國中、高中的班上,幾乎每一班都有至少一組同月同日生的「有緣人」。如果你早一點學機率,就可以在你的同學驚訝時,掃興地說「這甚至算不上什麼有趣的巧合」來嘗試凝固本來活絡的空氣。


  同時,芝諾的那些問題透過現代人普遍的數學與物理學常識,也已經不會有太多困擾,這些所謂的「悖論」充其量只是茶餘飯後的益智餘興。比起它的內容,「我們的直覺為什麼那麼不可靠」在現在可能有著更多的哲學旨趣。



那麼,烏鴉悖論是真悖論還是假悖論?對我們又有什麼價值?

  如果我們將「烏鴉悖論」的結果寫為:「觀察所有非烏鴉的物都能用以檢證『對所有的x而言,若x是烏鴉則x是黑的』這個命題,所以邏輯經驗論的觀察-歸納方法不適合用以檢證科學命題。」我們並不會遭遇到考慮說謊者悖論時面臨的那種邏輯困難。那麼,我們要如何像面對其它假悖論時那樣,在科學的思維之中重新將這一結果整合進我們的直覺呢?我們如何有可能去像接受「生日悖論」那樣去接受「觀察非烏鴉」對檢證科學命題的用處呢?還是我們要因此說觀察-歸納方法不適用?



  若我們設想一種極端情況:「全世界所有的東西都是烏鴉」,在這樣的情況中,科學家的確不會去「觀察非烏鴉」,因為根本沒有非烏鴉可以觀察。但在這個狀況中,我們不會產生「所有的烏鴉都是黑的」這樣的命題,我們只能「嘎嘎嘎」的叫。


  如果那些「嘎嘎嘎」想要表達這個特定的科學命題,那會是「所有東西都是黑的」,因為,在這個世界裡面「烏鴉」一詞能包含的對象與「東西」沒有區別。在這個世界裡,檢查任何東西都對這個命題有效,因為這個命題所談的就是所有東西。


  這開啟了我們思考這一問題的第一個關鍵,當哲學家把「所有烏鴉都是黑的」這個語句轉換成邏輯語言「∀x(Rx → Bx)」,我們談論的主詞已經從「所有的烏鴉」,改變為「所有的東西」(所有的x),而去說「對所有的東西而言……」。


  因此,面對這類的命題,所有的東西自然都能夠成為它的例證,如果我們去觀察非烏鴉的物時沒有得到對該命題的檢證,反而才是令人感到奇怪的事。但是,雖然邏輯語言的確改變與簡化了自然語言,但我們卻不是要說邏輯語言將我們的檢證引導到了錯誤的方向。事實上,它給出了一個對於科學探究的重要提醒。



  在另一種極端情況:「所有的物都是黑的」的狀況裡,我們也不會把「所有的烏鴉都是黑的」這樣的宣稱當作一個有意義的科學宣稱,因為這句話就相當於「所有的烏鴉都有顏色」這樣的瑣碎真理。


  反之,如果全世界只有烏鴉是黑的,那我們去說「所有的烏鴉是黑的」時,就好比是在說「所有的烏鴉都有烏鴉心臟」一樣的說著「所有的烏鴉都有烏鴉顏色」。那兩個經由邏輯形式轉換的宣稱,給予了我們消解掉這兩組讓「所有的烏鴉都是黑的」變得毫無價值的可能情況。也就是說,當我們找到越多非黑的黑烏鴉與越多黑的非烏鴉時,我們就越知道有些東西在這類性質上有別於烏鴉,而去說出烏鴉有這類性質在科學上的意義就增加了。


  在一些實際的統計裡面我們會更能體會這之中的價值。譬如說:「許多得到肺癌的人都有每天吸菸的習慣」與「許多得到肺癌的人都有每天喝水的習慣」這兩個宣稱有著截然不同的科學價值。而這是我們能透過觀察沒吸菸的人得肺癌的機率與觀察沒得肺癌的人是否也每天喝水來使之愈加清晰。


  的確,觀察非烏鴉與觀察烏鴉對於這個問題的價值不是完全等同的,但Hempel提出的討論將有助於我們更好地理解「抽樣」、「對照組」等科學方法之意義。在日常的理解裡也是如此,就像一些囚困在不健康關係中的人,往往沒有給自己足夠機會看看外面是否存在其它鳥類。如果他們只考慮了壟罩著自己生活的烏鴉,便說出「我見過烏鴉,烏鴉都是黑的」,可能任自己永遠錯失了那些未曾見過的顏色。




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