上古漢語的邏輯結構 068

1.0 從函數到函算語法

1.4 函算語法

• 1.4.1 語法範疇理論導論
• 1.4.2 函算語法與函數概念

三

弗雷格從語言結構的觀點出發，提出了函數可以被視為一個不完整的表式。如果我們將一個函數拆解為一個由一個函子及其 (一個或多個) 論元所組成的表式，那麼該函子便是一個有待滿足的表式，而函子的 (一個或多個) 論元便是用來滿足該函子並使該函子成為一個完整表式的表式。

函算語法將上述的數學直覺和弗雷格的語法觀點結合起來，應用在以語構範疇為單位的語言結構上。就像我們可以用一個函數來繪制一條線或一個曲線圖，我們也可以使用一個函數來「繪制」一個語言的語法結構。當我們用一個函數來繪劃一條線 (譬如一條直線)，這個函數實在是給出了一個用來繪劃那條直線的規則。舉個例子， y＝2x＋6 是一個非常普通的代數函數，它給出的是繪劃一條直線的規則﹕

1.4.2_3 一個代數函數

嚴格來說，函數是 2x＋6，y 是這個函數的值。我們慣常用 f(x) 或 f(x)=y 來表示一個一元函數，但這只是一個架構表式 (schematic expression)，因為無法求解，即沒有給出規則沒有給出規則，因此無法按規則求解，所以不可能繪劃出如圖 1.4.2_3 的直線。如果我們說 f(x)=2x＋6，我們便為這個一元函數 f(x) 提出了一個求解的規則﹕只要知道 x 的值，我們便必然知道 y 的值。前述的代數函數也可以用下面集論的語言來表達﹕

這個集論語言把要說明白的地方都說明白了。

F 是一個從整數 (integers) ℤ 到整數 ℤ 的關係，所有的有序對 (ordered pairs)〈x,y〉的首個座標 x 皆為 ℤ 集中的任一元素，而 y 也是 ℤ 中的元素，並且相對於任一的 x 來說，y 是唯一的。顯然，F 是 ℤ × ℤ 的一個子集，滿足了上述 1.4.2_1 和 1.4.2_2 兩個條件，因此是個函數(而且是個全函數⁶⁹)。

__________

⁶⁹ Total function。