中學以下的素養教育與經驗談：國三下數學，四分位數與盒狀圖

看數據資料，必須要懂統計名詞與機率

大致上就是算術平均數、中位數、眾術，以及了解次數、累積次數圖，還有盒狀圖。以前筆者都覺得這邊隨便也沒差，看了廣大民眾畢業多年後，越來越覺得認真教比較對得起國家。

多數沒上高中的學生，這輩子最後一次碰到各種統計名詞與機率，就只有這邊，難怪社會上充斥一大群看不懂資料的人，唉。

抱怨就不在教育專欄多說，學生要先學會的是資料處理，也就是假設有很多數字，將之排列整理，列在圖表上。以下為了方便，這邊提供幾個基本數列

連續數列：1、2、3、4、5、6、7、8、9

骰子：1、1、2、2、2、3、3、4、5、5、6、6

考卷分數：10、20、30、30、40、40、40、50、50、50、60、60、70、70、80、90、90、100

這是所謂的直方圖，用來看出分布狀態。如果改成折線圖次數就會變成如下：

理解圖表的功能和用處

這都還好，遇到累積次數圖就開始有問題，因為累積次數指的是「從一開始累積到現在的次數」，沒有特定去想，直觀上很難理解，如下圖。

橘線是累積次數，很多同學不明白為何會這樣，這其實就只是一種定義，要說趨勢變化也可以。筆者的建議是配合案例，例如先問班上同學考10分的舉手，接著20分的也舉，但10分的不放下，然後再舉30分，依此類推到全班都舉手。

筆者的建議是，找幾個現實案例，讓學生明白圖表的用處，在於讓人一目了然，不是有做就好。而從中學到，不同圖形用在不一樣的地方，好比民調用折線圖好還是圓餅圖好？

如果使政黨席次對比，圓餅圖有助於一眼看出勢力大小，這用折線圖就很難看出絕對比例。但如果是要知道歷年支持度變化，那還是得看折線圖，才曉得趨勢怎麼跑。

數據跟圖表的意義，重點在如何製作與解釋

可以的話，找一兩個案例，讓學生去了解，不同數字給予人的感覺，例如下列四圖。

如圖，某項汙染物在自然界的含量，做成這張圖，會給人一種連年上升的印象對吧？但看看縱軸，好像感覺怪怪的對不對？我們如果把縱軸座標拉到0去看的話會變下圖。

呃，瞬間感覺好像沒啥變化，這就是操作數據但沒有說謊的做法之一。我們還可以把含量改成年增率，如下圖：

這圖的解釋，一般來說都會認為，應該是沒啥大變化，但有一種「增加率的增加率」，會讓此圖為之一變。

刪掉中間往下的變化，然後把變化率取跟前一年的「增加率」比，口語化成「2000年後污染排放量逐年上升，04年的增加率還在增加40%，到了05年將近200%，這幾年趨勢略有下降，但每一年相比仍保持增加110%的幅度。」

看起來就有夠嚇人，但看過原始資料就會發現，好像不是這麼回事。目的在於要讓學生，可以很快抓到那個概念，數據跟圖表可以做，重點在怎麼製作跟解釋，不能讓第一印象影響自己。

能做到這樣，筆者認為已經功德無量。

不過就以練習來說，這邊的次數、累積次數、相對次數（百分），都要自己動手做一兩次才會懂，光是用看的沒辦法。

算數平均數、中位數、眾位數與四分位數

接著上統計數字的概念。

• 算術平均數：所有資料加總後，除以資料筆數。

這是一般人最清楚的，筆者建議加上一些額外補充，遇過學生只會操作但不懂內涵。補充的內容，就是加上極值，例如全班平均分數60分，但拿兩組資料，一組是多數分數落在60前後，另一組是90分跟30分很多的資料，讓學生先了解，原來平均數代表的意義不是「大家都這樣」。

不要以為筆者在開玩笑，真的很多人以為算術平均數，意義就是大家都這麼多。

• 中位數：把數字整理排列後，中間的那個數字。

這有點小麻煩，單數雙數的問題，假設有5個數字，排列後中位數就是第三個。但如果只有4個，那麼中位數指的是2、3加起來除以2。

中位數只能表達中間那個數字，不能代表數字是否有偏，例如全班數學考試中位數60分，平均50分，能不能得到分布很靠中間的結論？不行。

• 眾數：數列中出現最多次的數字。

好比說，全班體育課算十次罰球的進球量，結果眾數是3。這只能表達最多人只投進3次，可不可以表達分布在3次附近？不一定。投籃次數照理說，進球越多的人數越少，故全班大多3次，那麼的確可能其他人在2、4次附近。但能不能保證都是這樣？若是丟骰子就肯定不行，骰子六面機率相等，眾數為3，只代表這幾次丟下來，3比較多，不能說2跟4也很多。

簡單說，國三學到這些統計數字，都只能解釋一些簡單意思，不能直接等同懂統計。沒有配合統計題目，對象是否適合，就不能驟然下評論。故四分位距（第1四分位數和第3四分位數的差距）蠻適合看分散程度，理由就在這，而這也是國中比較能找實際案例去解釋的。

所謂的四分位數，指的是把數字排列後，依照25%、50%、75%，劃分四塊，其中25%稱為第1四分位數，75%稱為第3四分位數，50%就是中位數，不會特別說。

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以前面的考試分數當例子，總共有18個數字：

• 考卷分數：10、20、30、30、40、40、40、50、50、50、60、60、70、70、80、90、90、100

所以第1四分位數是第幾個數字？18×1/4=4.5，取第5人為40分。

第3四分位數是18×3/4＝13.5，取第14人為70分。

四分位距為第3四分位數減掉第1四分位數，70-40＝30分。

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若有另一班的考試分數，幾乎都集中在60前後，如下：

• 考卷分數：10、30、40、50、50、50、50、50、60、60、60、60、60、60、70、80、90、100

所以第1四分位數是第幾個數字？18×1/4=4.5，取第5人為50分。

第3四分位數是18×3/4＝13.5，取第14人為60分。

四分位距為第3四分位數減掉第1四分位數，60-50＝10分。

故可稱這一班的分散程度比上一班要小。

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大概就這樣，統計真的不難，只是通常到這時間，會考前很煩了。筆者會建議，如果師長覺得時間夠，寒假可以先上，因為這邊不難，只是要花時間，且會考會出一題。