綁架愛麗絲 之 地下邏輯 017

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十四

繞道: 要分析吃論，我們還要學懂使用推論規則 (rules of inference)。

命題邏輯可以用不同風格的推演系統表達。我們用自然演繹方法 (natural deduction)。自然演繹系統好用﹐因為它是個對稱的系統。「對稱」的意思是指每一個真值函應命題聯結詞都有一條引入規則 (rule of introduction) 和一條消去規則 (rule of elimination)。對稱的推論規則突出了邏輯的機械化特徵。

至此﹐我們已經用真值表界定了三個真值函應聯結詞: 否定號 (negation)﹑條件句號 (conditional) 和析取號 (disjunction: 相容及相斥 )。在這裡﹐讓我們界定一個新的真值函應聯結詞﹐並討論一下與這個聯結詞相關的推論規則﹐以彰顯自然演繹系統的機械性。

我要向讀者介紹一個叫「合取號」(conjunction) 的聯結詞。合取號的邏輯意義來自日常語言中的「and」(英語)﹔大概對應的漢語有「和」﹑「與」﹑「及」﹑「而」﹑「但」﹑「並且」等。在與邏輯有關的文章中﹐漢語學界的邏輯學工作者若要用文字表達合取號則多用「並且」一詞。

合取號的邏輯記法是「∧」。「p ∧ q」是個合取句式﹐念「p﹐並且 q 」﹐「p」和「q」皆稱為「合取項」(conjuncts)。

合取號的用法由以下的真值表界定:

合取句式只在一個情況之下為真﹐即當兩個合取項皆真 (1-1)。日常語言中會有這樣的句子:

W :「黃小姐剛吃了一頓大餐﹐但她還是覺得肚子餓。」

這個句子可以如下理解:

W' :「黃小姐剛吃了一頓大餐﹐並且﹐黃小姐還是覺得肚子餓。」

這樣的一個句子 (W' ) 在什麼時候才可以判定為真呢?

假設事實上黃小姐沒有吃過一頓大餐 (0-1)﹐或者黃小姐根本不覺得肚餓 (1-0)﹐W' 顯然不符實情﹐故句子為假 (0)。

又或者，黃小姐剛才沒有吃過一頓大餐，也不覺得肚子餓 (0-0)，W' 當然為假 (0)。

如果黃小姐的確剛剛吃了一頓大餐﹐並且﹐黃小姐還是覺得肚子餓 (1-1)﹐W' 便是個真句。這些都簡單易明﹐多解釋也會讓人感到煩厭。

比較有趣的是與合取式相關的兩條規則。我們先談消去規則﹐即「合取消去規則」(conjunction elimination)²²。根據這條規則﹐如果我們有「p ∧ q」﹐即「p ∧ q」為真﹐我們可以推斷/推論 (infer)「p」(或「q」)﹐﹐即「p」(或「q」) 為真:

既然「p ∧ q」只在合取項皆真的情況下才為真﹐如果我們接受「p ∧ q」為前提 (premise)﹐也就是說我們假設了「p」為真﹐同時「q」亦為真﹐我們當然可以單獨推斷「p」﹐也可以單獨推斷「q」; 因為反正我們假設了「p ∧ q」，即「p」和「q」均獨立地真。

現在假設我們的前提之中有「p」亦有「q」﹐即是說「p」為真﹐「q」亦為真。這不正符合合取式定義中成真的條件嗎? 既然有「p」亦有「q」﹐我們當然可以推斷「p ∧ q」，故有合取引入規則 (rule of conjunction introduction):

我們再進一步思考前述的兩條規則。假如我們有「p ∧ q」﹐我們可以把「p」抽出來。根據規則﹐我們也可以把「q」抽出來。於是我們有「p」亦有「q」。換句話說﹐我們可以推斷「p ∧ q」:

這就是邏輯的一個基本性質: 阿媽係女人 (粵語，意即: 母親是女人) ——「女人」概念已經存在於「阿媽」概念之中，「阿媽係女人」基本上沒有提供任何新的訊息。

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²² 傳統上稱為「simplification」﹐即「簡化」。

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