綁架愛麗絲 之 地下邏輯 019

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十六

好了，我們現在有足夠的工具 (概念+推論規則) 來處理吃論[1]了。

要判斷愛麗絲的吃論[1]是否有效﹐基本上有兩個途逕:

(甲) 直接證明 (direct proof): 直接證明沒有什麼花巧﹐就是用前提和推論規則直接推導出原結論。

(乙) 間接證明 (indirect proof): 我們假設原結論是錯的﹐即提出原結論的否定 (在結論的前面加一個否定號)﹐並且將結論的否定加入為最新的前提﹐然後推導出一個矛盾句﹐從而證明原結論必定對﹐因為原結論的否定能導致矛盾 —— 意思是不能否定原結論。這樣的反證亦稱「歸謬法」(reductio ad absurdum)。

間接證明比較麻煩。我們用直接證明﹐因為所需要的工具已全準備就緒。讓我們整理一下愛麗絲的推論:

如果我吃這塊小糕餅﹐它會使我變大或者使我變小。

1. 如果它使我變大﹐我便夠著鑰匙。
2. 如果我夠著鑰匙﹐我便可以開門走入那座花園。(隱蔽前提)
3. 如果它使我變小﹐我就可以從門下面的縫隙爬過去。
4. 如果我能夠從門下面的縫隙爬過去﹐我便可以走入那座花園。(隱蔽前提)
5. 因此﹐如果我吃這塊小糕餅﹐我便可以走入那座花園。

這還不夠﹐因為我們關心的是吃論[1]在形式上是否有效。一直以來﹐我們主要用命題變元來談論理型 (argument type) 的有效性﹐而命題變元不是命題﹐大家都知道了﹐但我們可以用真實的句子 (譬如某「A」) 代入命題變元 (譬如「p」) 的位置。²³。愛麗絲的吃論[1]都是實句﹐我們不需要用變元﹐因此我們提出用大寫英語字母替代實句的約定:²⁴

• C = 我吃這塊糕餅。
• L = 它 (糕餅) 會使我變大。
• S = 它 (糕餅) 會使我變小。
• K = 我夠著鑰匙。
• D = 我能夠從門下面的縫隙爬過去。
• G = 我能夠走入那座花園。

有了前面的約定﹐我們可以嘗試如下形式化愛麗絲的吃論[1]:

1. C ⊃ (L ∨ S)
2. L ⊃ K
3. K ⊃ G
4. S ⊃ D
5. D ⊃ G
6. C ⊃ G

剩下的問題就是如何證明吃論[1]的推理正確或不正確。準確一點的說法是﹐我們可以如何證明吃論[1]為有效或無效。我們的證明包括三個部份: 一﹑吃論的前提; 二﹑吃論的結論 (習慣上﹐我們在最後一個前提的右邊劃一個正斜杠 (/)﹐再加一個正三點 (∴)﹐意謂「因此」﹐正三點的右邊寫上結論﹐以明確證明的目標); 三﹑證明的內容﹐包含證由 (justification):

這個證明採用一個旋柵格式，而這個格式的中心就是一個旋柵符號:「⊢」²⁵。在橫向線性表述時，旋柵符號的左邊是前提 (零個或以上)，右邊是結論:

p₁, p₂ ... p_n ⊢ q

在縱向證明 (如吃論[1]的證明) 中，旋柵符號的橫杆上方是前提 (零個或以上)，橫杆下方是結論。吃論[1]的證明) 中，旋柵符號的橫杆上方是前提 (零個或以上)，橫杆下方是結論。

讀者可以嘗試數一數，吃論[1]的證明中共有5個「⊢」。

行1到行5是愛麗絲推理的前提，即吃論[1]的前提。行5「/∴」的右邊是有待證明的結論，即吃論[1]的結論。我們要證明「C ⊃ G」，即「如果我吃這塊糕餅，那麼我便能夠走入那座花園」。「C ⊃ G」是我們希望達到的目標。

以下是對吃論[1]的證明的講解。

行1-5是愛麗斯的前提。

我們先假設有「C」(行6)，而行1有「C ⊃ (L ∨ S)」; 應用條件句消去規則 (⊃E) 於行1和行6﹐因此而推導出「L ∨ S」(行7)。

之後﹐我們在行8重複同一個「詭計」，假設有「L」; 應用條件句消去規則於行2和行8﹐取得「K」(行9)﹐再一次應用條件句消去規則於行3和行9﹐因此而推導出「G」(行10)。

留意假設的「L」是「L ∨ S」的左邊的析取項。

現在處理「L ∨ S」右邊的析取項「S」。假設有「S」，重複類似的步驟﹐因此而推導出「D」(行12)。重複類似的步驟﹐因此而推導出「G」(行13)。

如果讀者還記得的話﹐要是我們能從「p ∨ q」的任一析取項 (p 及 q) 獨立推導出「r」﹐那麼只需應用析取消去規則 (∨E)﹐我們便可以推出「r」。

同理，上述有「L ∨ S」，並且我們能從 「L」獨立推導出「G」﹐也能從「S」獨立推導出「G」﹐我們應用析取消去規則﹐推出「G」。

不要忘記﹐行7的「L ∨ S」是靠行6假設的「C」而取得的﹐因此行14的「G」乃因「C」(行6) 而來。換句話說﹐我們假設「C」(行6) 而得出「G」(行14); 故此﹐我們可用條件句引入規則 (⊃I )﹐推論出「C ⊃ G」﹐因此而撤銷了行6的假設「C」，即這個假設已經納入「C ⊃ G」之內。

「C ⊃ G」代表「如果我吃這塊小糕餅﹐我便可以走入那座花園」。

信不信由你﹐撇開吃論[1]諸多可疑的隱性假設不談，吃論[1]竟然是個有效論理 (argument)。

於是，愛麗絲吃了一小口面前的糕餅﹐卻沒有什麼變化。

不是應該有點奇怪的事情發生的嗎?

注意: 隨著近期的新體驗﹐愛麗絲對「常態」的理解已經變得更科學了 —— 常態已經不再是見諸四海皆準的標準化現象﹐而只是由個人/社會體驗決定的一個可能性!

大概﹐啃那麼一丁點不會有什麼作用的﹐而且﹐一成不變的人生有什麼意義呢?

於是﹐她大口地吃，很快就把這塊糕餅吃完了。好一個「以身試法」的小科學家!

吃光了一整塊小糕餅的愛麗絲期待著另一個驚心動魄的奇遇。

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²³ 將實句代入命題變元﹐譬如「p」的位置﹐我們稱之為「對『p』的詮釋」(An interpretation of the letter 'p')。

²⁴ 「C」來自「cake」;「L」來自「large」;「S」來自「small」;「K」來自「key」;「D」來自「door」;「G」來自「garden」。

²⁵ 「Turnstile」(旋柵)，現實生活中是一個三叉旋轉裝置，設於譬如某些工商大樓的入口處，控制工作人員或訪客的進入。又譬如香港地鐵入口或輪渡入口的旋轉柵門。地鐵或輪渡入口的旋轉柵門通常不會轉動﹐乘客過不去。乘客若要過去﹐必須交足票費﹐柵門便會迴旋。邏輯學家就是因為這個聯想而選用了這個後設邏輯符號 (metalogical symbol)。用嚴格的邏輯專業語言來說，旋柵符號表示一個邏輯後承的關係 —— 旋柵右邊一組句子是旋柵左邊一組句子的邏輯後承 (logical consequence)。

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