寫出課本教的計算過程：從標準答案到「標準答案式的思考」

〈寫出課本教的計算過程：從標準答案到「標準答案式的思考」〉2023-11-19

　　中學的時候，每天有一大堆的考試。那些時間是非常無聊的，比起驗證我們有沒有學會、或讓我們對知識更加熟悉。那種模式更像是在灌輸一種考試術、並讓我們習慣於一種病態的－－隨時準備好要寫考卷的存活狀態，原因也令人不寒而慄：在那樣的觀念裡面，你這幾年的學校生活，說到底就僅僅是為了升學考試的那幾天所做的預備。

　　面對那些無聊的小考，當時的我形成了一種取樂方式，就是在過程裡盡可能地不動筆，等我想出所有問題的答案之後，再一次寫上去。這樣一回想，會覺得這種「娛樂」特別無聊，但在那個當下，也沒有太多有意思的事情可以做了。單面的考卷可以在背面畫畫，但多數老師不喜歡你這麼做，他們會叫你多檢查一遍，「如果檢查完一遍了，就檢查兩遍」。

　　我一遍也不想檢查，我知道我是想清楚答案才寫上去的，如果錯了，那就是錯了。如果那道題會讓我因為沒看清楚就寫錯，那錯了更好，下一次看到類似的題目就會更注意。至於所謂的「陷阱題」，每個人都知道，那無法哪怕一點點地提高考試的「鑑別度」，只是徒增了整個考試體制的荒謬程度，以及學生們在這個制度之下的苦悶與無聊程度。

　　數學考卷可能稍微不無聊一點，因為它通常不會全部都是選擇題。有些不只要求你寫答案，還會要求你寫計算過程。這些要求是合理且必要的，因為那個答案並不是什麼真正重要的知識，如何得出那個答案的過程才是我們需要學的內容。但當題目要求你寫下特定的算式時，它有時卻變得異常糟糕，刻板而不真正具有說服力。

　　對於一些孩子而言，數學考卷上的題目本身並不困難，但他們本來應該滿分的考卷卻經常因為「跳步驟」、「順序不對」或「沒寫單位」而被扣分。但問題是，他們並非不知道答案應該是什麼單位，也並非不知道乘數與被乘數的定義，也沒有在計算中出現任何邏輯錯誤。他們被指認為不夠努力或粗心，但僅僅是因為，他們在考試中以自己的面貌面對題目本身，沒有去如體制期望的那樣，成為為標準答案服務的考試機器。

　　以乘數和被乘數的關係為例，我們會聽到一種說法。這樣的說法認為，寫錯順序意味著你不理解其中的邏輯。譬如"4x3=12"與"3x4=12"是不同的，這些人會說，寫錯順序意味著他沒有分清楚「3個盒子，每個盒子裡有4顆球」與「4個盒子，每個盒子裡有3顆球」之間的差別。會去說，這個順序之所以重要，是因為我們要理解乘數與被乘數的差別，理解「倍數」的觀念。

　　然而，實際上那些算式與句子並不能這樣一一對應，它也可以是「3個盒子，每個盒子裡有4顆球」與「每個盒子裡有4顆球，我們有3個盒子」之間的差別。這兩者之間的轉換一點問題也沒有，一但你去詢問那些「順序寫錯」的孩子，他們很可能一點都沒有混淆，甚至他們調換順序有時是因為那樣會讓數字變得更好算。

　　那並不意味著他們提前學會了還沒教的「交換律」，而是，他們可能在學科之外的地方培養了他們的邏輯思考。他們並非「不知道自己在使用交換律，所以不算是真的懂」，而是，對於任何一個世界裡面的真正問題，有道裡的思考過程往往不會只有一種。

＊

　　進一步來說，孩子寫在考卷上的算式之所以會看起來是「跳步驟」，那非但不意味著他不知道該怎麼算，更加意味著那樣的計算已經被他內化，他「不是在套公式」，而是能用那樣的方式思考，並認為那自然與清晰到不需要特別寫出來。但時常發生的事情是，老師指出他跳步驟，卻說不清楚為什麼他跳步驟了，而是，要他把原來很自然的思考拆解，去「編造」出那個符合課本要求的過程。

　　的確，當我們要去理解乘法，我們會知道，那樣的算式可以被拆成 "4+4+4=12" 或 "3+3+3+3=12" ，也應該要知道這兩者之間的不同。同時，這樣的拆解，也完全有助於還不能理解乘法的一部份學生更好地理解。然而，對於已經知道如何使用乘法的人來說，實際上人們並不真正在思考與計算時經過這樣的過程。

　　當我們看到題目是「九個盒子，每個盒子有四顆球時」，我們並沒有先在心中列出 "4+4+4+4+4+4+4+4+4" ，再把它變成乘法。如果我們真的有這樣的「計算過程」，我們不可能去乘那些更大的數，而事實上，乘法更有用的地方，恰恰是用在處理那些更大的數的情況。當一個人已經擁有這樣的能力時，他卻可能被扣分，並且，被迫學習一種非知識的，服務於考試的表達方式。

　　這樣的說法並不是在說「建構式數學」的理念是錯誤的，而是，當這種旨在讓孩童理解與思考的模型遇上「標準答案」式的出題與批改時，「計算過程」反而本末倒置地成了另一種要背誦的公式。就像那些最食古不化的、要求學生一字不漏背「註釋」的國文考試一樣，這樣的方式讓那些真正試圖理解的學生在考試中被扣分，並鼓勵孩童成為不思考、照單全收的「乖孩子」。

　　一種可能的反駁是，並非所有「跳步驟」、「順序寫錯」、「沒寫單位」或沒有一字不漏寫註釋的學生都是足夠理解答案且帶有自己想法的「大聰明」，有些學生之所以發生這些問題，是因為他沒搞懂，而只想要快速答題所以隨便湊答案的「小聰明」。

　　的確，之所以一名學生能夠得到答案，也有可能只是因為他寫過類似的題目，或用了補習班老師教的「速解法」，能給出答案並不意味著他真的理解。不過，為什麼那麼常有學生明明不理解卻總能答對呢？難道不是因為，這個教育體制一再地將長相相似的考題丟在他們面前，不管他們是否理解，都叫他們一直寫一直寫；並且，只以成績作為評判他們是否學會的標準，才讓這些學生有可能「明明不會卻看起來會」以及養成「只在乎分數，而沒有興趣真正去理解」的價值觀。

　　在一個試圖把人們培養成「考試高手」與「做題家」的制度與社會氛圍裡面，去要求那些明明已經搞懂的人，按照課本上的標準來寫算式，卻說是為了讓他們真正理解與訓練邏輯，雖然第一線的教師有可能真的相信這樣的「訓練」對孩子是好的，但還是諷刺到令人有些唏噓。

延伸閱讀：

〈不只關於答案，關於理解並回應問題〉

〈俄式乘法：關於「拆分計算」、「尋找規律」與「二進制」思路〉

〈「6÷2(1+2)=?」：一則簡單的四則運算為什麼在十多年內病毒傳播？〉

〈生命的意義是什麼？〉

〈費曼的困惑與人文學的價值（一）：無用的學問〉

〈邁向未來真理：淺談實用主義真理觀〉